Suites arithmétiques
Définition
On dira qu'une suite \( u\) est arithmétique si
\[\forall n \in \N,\ u_{n+1}-u_n=r\]
où \( r\) est un nombre réel ne dépendant pas de \( n\) . On l'appelle la raison de la suite.
Remarque
En d'autre terme, une suite sera dite arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant un réel appelé raison.
Dans ce cas particulier de suite, on peut passer de la forme récurrente à la forme explicite assez rapidement.
Proposition
Soit \( u\) une suite arithmétique de raison \( r\) alors pour tout \( n\in \mathbb{N}\) , \[u_n=u_0+nr\]
Démonstration
On raisonne par récurrence le cas initial étant trivial.
Supposons que pour \( n\in\N\) , \( u_n=u_0+nr\) . Montrons que \( u_{n+1}=u_0+(n+1)r\) .
\begin{eqnarray*}
u_{n+1}
&=&u_n+r\\
&=&u_0+nr+r\\
&=&u_0+(n+1)r
\end{eqnarray*}
Ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire
Soit \( u\) une suite arithmétique de raison \( r\) .
- Si \( r{>}0\)
- alors la suite est strictement croissante et tend vers \( +\infty\) .
- Si \( r{<}0\)
- alors la suite est strictement décroissante et tend vers \( -\infty\) .
- Si \( r=0\)
- alors la suite est constante et tend donc vers sa valeur constante (n'importe lequel de ses termes).
