Ataraxy

\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEFO}[2]{\left[\!\left[#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\intEOF}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right]\!\right]} \newcommand{\intEOO}[2]{\left]\!\left]#1 ; #2\right[\!\right[} \newcommand{\ou}{\vee} \newcommand{\et}{\wedge} \newcommand{\non}{\neg} \newcommand{\implique}{\Rightarrow} \newcommand{\equivalent}{\Leftrightarrow} \newcommand{\Ab}{\overline{A}} \newcommand{\Bb}{\overline{B}} \newcommand{\Cb}{\overline{C}} \newcommand{\Cl}{\texttt{Cl}} \newcommand{\ab}{\overline{a}} \newcommand{\bb}{\overline{b}} \newcommand{\cb}{\overline{c}} \newcommand{\Rel}{\mathcal{R}} \newcommand{\superepsilon}{\varepsilon\!\!\varepsilon} \newcommand{\supere}{e\!\!e} \makeatletter \newenvironment{console}{\noindent\color{white}\begin{lrbox}{\@tempboxa}\begin{minipage}{\columnwidth} \ttfamily \bfseries\vspace*{0.5cm}} {\vspace*{0.5cm}\end{minipage}\end{lrbox}\colorbox{black}{\usebox{\@tempboxa}} } \makeatother \def\ie{\textit{i.e. }} \def\cf{\textit{c.f. }} \def\vide{ { $ {\text{ }} $ } } %Commande pour les vecteurs \newcommand{\grad}{\overrightarrow{Grad}} \newcommand{\Vv}{\overrightarrow{v}} \newcommand{\Vu}{\overrightarrow{u}} \newcommand{\Vw}{\overrightarrow{w}} \newcommand{\Vup}{\overrightarrow{u'}} \newcommand{\Zero}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Vx}{\overrightarrow{x}} \newcommand{\Vy}{\overrightarrow{y}} \newcommand{\Vz}{\overrightarrow{z}} \newcommand{\Vt}{\overrightarrow{t}} \newcommand{\Va}{\overrightarrow{a}} \newcommand{\Vb}{\overrightarrow{b}} \newcommand{\Vc}{\overrightarrow{c}} \newcommand{\Vd}{\overrightarrow{d}} \newcommand{\Ve}[1]{\overrightarrow{e_{#1}}} \newcommand{\Vf}[1]{\overrightarrow{f_{#1}}} \newcommand{\Vn}{\overrightarrow{0}} \newcommand{\Mat}{Mat} \newcommand{\Pass}{Pass} \newcommand{\mkF}{\mathfrak{F}} \renewcommand{\sp}{Sp} \newcommand{\Co}{Co} \newcommand{\vect}[1]{\texttt{Vect}\dpl{\left( #1\right)}} \newcommand{\prodscal}[2]{\dpl{\left\langle #1\left|\vphantom{#1 #2}\right. #2\right\rangle}} \newcommand{\trans}[1]{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}} \newcommand{\ortho}[1]{{#1}^{\bot}} \newcommand{\oplusbot}{\overset{\bot}{\oplus}} \SelectTips{cm}{12}%Change le bout des flèches dans un xymatrix \newcommand{\pourDES}[8]{ \begin{itemize} \item Pour la ligne : le premier et dernier caractère forment $#1#2$ soit $#4$ en base 10. \item Pour la colonne : les autres caractères du bloc forment $#3$ soit $#5$ en base 10. \item A l'intersection de la ligne $#4+1$ et de la colonne $#5+1$ de $S_{#8}$ se trouve l'entier $#6$ qui, codé sur $4$ bits, est \textbf{\texttt{$#7$}}. \end{itemize} } \)

Exemples standards

Voici quelques exemples de graphes non orientés.

Définition

Soit $ n\in \N$ .

$ (i)$: Si $ n{>}0$ , la clique standard à $ n$ sommets est le graphe $ \Kk_n$ défini par \[\Som(\Kk_n)=\{1,\cdots,n\},\qquad \Ar(\Kk_n)=\left\{I\subseteq \Som(\G)\Big| \Card(I)=2\right\}\]
$ (ii)$: La chaîne standard à $ n$ arêtes est le graphe $ \Cc_n$ défini par \[\Som(\Cc_n)=\{0,\cdots,n\}\qquad \Ar(\Cc_n)=\left\{\{i-1,i\}\Big | i\in \{1,\cdots,n\}\right\}\]
$ (iii)$: Si $ n{>}2$ le cycle standard à $ n$ sommets est le graphe $ \Zz_n$ défini par \[\Som(\Zz_n)=\{0,\cdots,n-1\}\qquad \Ar(\Zz_n)=\left\{\{i-1,i\}\Big | i\in \{1,\cdots,n-1\}\right\}\cup\left\{\{n-1,0\}\right\}\]

\[ \xymatrix{1} \] \[\Kk_1\] \[ \xymatrix{1\ar@{-}[r]&2} \] \[\Kk_2\] \[ \xymatrix{&1\ar@{-}[rd]\ar@{-}[ld]&\\ 3\ar@{-}[rr]&&2} \] \[\Kk_3\] \[ \xymatrix{ 1 \ar@{-}[r]\ar@{-}[rd]\ar@{-}[d]& 2\ar@{-}[d]\ar@{-}[ld]\\ 4\ar@{-}[r]& 3 } \] \[\Kk_4\] \[ \xymatrix{0} \] \[\Cc_0\] \[ \xymatrix{0\ar@{-}[r]&1} \] \[\Cc_1\] \[ \xymatrix{0\ar@{-}[r]&1\ar@{-}[r]&2} \] \[\Cc_2\] \[ \xymatrix{0\ar@{-}[r]&1\ar@{-}[r]&2\ar@{-}[r]&3} \] \[\Cc_3\] \[ \xymatrix@R=1.2cm@C=1.2cm{&0\ar@{-}[rd]\ar@{-}[ld]&\\ 2\ar@{-}[rr]&&1} \] \[\Zz_3\] \[ \xymatrix@R=1.2cm@C=1.2cm{0\ar@{-}[r]\ar@{-}[d]&1\ar@{-}[d]\\ 3\ar@{-}[r]&2} \] \[\Zz_4\] \[ \xymatrix@R=1.2cm@C=0.5cm{ &&0\ar@{-}[rrd]\ar@{-}[lld]&&\\ 4\ar@{-}[rd]&&&&1\ar@{-}[ld]\\ &3\ar@{-}[rr]&&2& } \] \[\Zz_5\] Ces graphes ont leur analogues dans le cas orienté.

Définition

Soit $ n\in \N$ .

$ (i)$: Si $ n{>}0$ , la clique standard orienté à $ n$ sommets est le graphe, également noté $ \Kk_n$ , défini par \[\Som(\Kk_n)=\{1,\cdots,n\},\qquad \Arc(\Kk_n)=\Som(\G)\times\Som(\G)\]
$ (ii)$: La chaîne standard orienté à $ n$ arêtes est le graphe, également noté $ \Cc_n$ , défini par \[\Som(\Cc_n)=\{0,\cdots,n\}\qquad \Arc(\Cc_n)=\left\{(i-1,i)\Big | i \in \{1,\cdots,n\}\right\}\]
$ (iii)$: Si $ n{>}2$ le cycle standard orienté à $ n$ sommets est le graphe, également noté $ \Zz_n$ , défini par \[\Som(\Zz_n)=\{0,\cdots,n-1\}\qquad \Arc(\Zz_n)=\left\{(i-1,i)\Big | i\in \{1,\cdots,n-1\}\right\}\cup\left\{(n-1,0)\right\}\]

\[ \xymatrix{1\ar@(ul,ur)[]} \] \[\Kk_1\] \[ \xymatrix{1\ar@(dl,ul)[]\ar@/^1pc/[r]&2\ar@/^1pc/[l]\ar@(dr,ur)[]} \] \[\Kk_2\] \[ \xymatrix{ &1\ar@(ul,ur)[]\ar@/^1pc/[rd]\ar@{{<}-}@/_1pc/[rd]\ar@/^1pc/[ld]\ar@{{<}-}@/_1pc/[ld]&\\ 3\ar@(dl,ul)[]\ar@/^1pc/[rr]\ar@{{<}-}@/_1pc/[rr]&&2\ar@(dr,ur)[]} \] \[\Kk_3\] \[ \xymatrix{ 1\ar@(ul,ur)[]\ar@/_1pc/[r]\ar@/_1pc/[rd]\ar@/_1pc/[d]\ar@/^1pc/@{{<}-}[r]\ar@/^1pc/@{{<}-}[rd]\ar@/^1pc/@{{<}-}[d]& 2\ar@(ur,ul)[]\ar@/_1pc/[d]\ar@/_1pc/[ld]\ar@/^1pc/@{{<}-}[d]\ar@/^1pc/@{{<}-}[ld]\\ 4\ar@(dl,dr)[]\ar@/_1pc/@/^1pc/[r]\ar@/^1pc/@{{<}-}[r]& 3\ar@(dr,dl)[]} \] \[\Kk_4\] \[ \xymatrix{0} \] \[\Cc_0\] \[ \xymatrix{0\ar[r]&1} \] \[\Cc_1\] \[ \xymatrix{0\ar[r]&1\ar[r]&2} \] \[\Cc_2\] \[ \xymatrix{0\ar[r]&1\ar[r]&2\ar[r]&3} \] \[\Cc_3\] \[ \xymatrix@R=1.2cm@C=1.2cm{&0\ar[rd]\ar@{{<}-}[ld]&\\ 2\ar@{{<}-}[rr]&&1} \] \[\Zz_3\] \[ \xymatrix@R=1.2cm@C=1.2cm{0\ar[r]\ar@{{<}-}[d]&1\ar[d]\\ 3\ar@{{<}-}[r]&2} \] \[\Zz_4\] \[ \xymatrix@R=1.2cm@C=0.5cm{ &&0\ar[rrd]\ar@{{<}-}[lld]&&\\ 4\ar@{{<}-}[rd]&&&&1\ar[ld]\\ &3\ar@{{<}-}[rr]&&2& } \] \[\Zz_5\] Il existe un type de graphe qui est à la fois orienté et non orienté.

Définition

Soit $ n\in \N_{{>}0}$ . Le stable standard à $ n$ sommets est le graphe $ \Ss_n$ défini par \[\Som(\Ss_n)=\left\{1,\dots,n\right\},\qquad\Ar(\Ss_n)=\Arc(\Ss_n)=\varnothing\]

Le stable standard est simplement représenté par ses sommets.