Définition
Soit \( f: E\rightarrow F\) une application linéaire entre \( \R\) -ev.
- \( (i)\) .
- Le noyau de \( f\) est l'ensemble
\[\Ker(f)=\left\{\overrightarrow{x}\in E\Big| f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}\right\}\]
- \( (ii)\) .
- L'image de \( f\) est l'ensemble
\[\Im(f)=\left\{\overrightarrow{y}\in F\Big|\exists \overrightarrow{x}\in E, \ f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{y}\right\}\]
Proposition
Soit \( f: E\rightarrow F\) une application linéaire entre \( \R\) -ev. Le noyau est un sev de \( E\) et l'image est un sev de \( F\) .
Démonstration
Faisons une vérification rapide.
- Pour le noyau.
- Soient \( \overrightarrow{x}_1\) et \( \overrightarrow{x}_2\) deux éléments du noyau et \( \lambda\in \R\) alors
\( f(\overrightarrow{x}_1+\lambda\cdot \overrightarrow{x}_2)=f(\overrightarrow{x}_1)+\lambda\cdot f(\overrightarrow{x}_2)\) puisque \( f\) est une application linéaire. Par définition du noyau, \( f(\overrightarrow{x}_1)=f(\overrightarrow{x}_2)=\overrightarrow{0}\) ce qui prouve que \( f(\overrightarrow{x}_1+\lambda\cdot \overrightarrow{x}_2)=\overrightarrow{0}\) et \( \overrightarrow{x}_1+\lambda\cdot \overrightarrow{x}_2\in \Ker(f)\) .
- Pour l'image
- Soient \( \overrightarrow{y}_1\) et \( \overrightarrow{y}_2\) deux éléments du noyau et \( \lambda\in \R\) alors par définition de l'image, il existe \( \overrightarrow{y}_1\) et \( \overrightarrow{y}_2\) de \( E\) tels que \( f(\overrightarrow{x}_1)=\overrightarrow{y}_1\) et \( f(\overrightarrow{x}_2)=\overrightarrow{y}_2\) . Par linéaire de \( f\) on arrive à
\( f(\overrightarrow{x}_1+\lambda\cdot \overrightarrow{x}_2)=f(\overrightarrow{x}_1)+\lambda\cdot f(\overrightarrow{x}_2)=\overrightarrow{y}_1+\lambda\cdot\overrightarrow{y}_2\) ce qui prouve que \( \overrightarrow{y}_1+\lambda\cdot \overrightarrow{y}_2\in \Ker(f)\) .
Théorème [Théorème du rang]
Soient \( f:E\rightarrow F\) une application linéaire entre \( \R\) -ev de dimension finie.
\[\dim(E)=\dim(\Ker(f))+\dim(\Im(f))\]
Démonstration
Admise.