Définition
Soient \( m\) et \( n\) deux entiers strictement positifs. Une matrice à \( n\) lignes et \( m\) colonnes à coefficient réel est la donnée d'un tableau \( A\) à \( n\) ligne et \( m\) colonne. On note les éléments de cette matrice \( a_{i,j}\) . Le premier indice correspondant à celui de la ligne et le second à celui de la colonne.
\[A=\left(a_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}} =
\begin{pmatrix}
a_{1,1}&&\cdots&&a_{1,m}\\
\vdots&&\ddots&&\vdots\\
a_{n,1}&&\cdots&&a_{n,m}
\end{pmatrix}
\]
On note \( \M_{n,m}(\R)\) l'ensemble des matrices à \( n\) lignes et \( m\) colonnes à coefficient réels.
Lorsque \( m=n\) , on note simplement \( \M_n(\R)\) .
Par exemple
\(
\begin{pmatrix}
0&1&-3&5&-1\\
3&0&11&2&0
\end{pmatrix}
\in \M_{2,5}(\R)
\)
Théorème
Soient \( m\) et \( n\) des entiers strictement positifs. On considère les deux opérations suivantes :
\begin{eqnarray*}
+ : \M_{n,m}(\R)\times\M_{n,m}(\R) &\longrightarrow & \M_{n,m}(\R)\\
\left(\left(a_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}},\left(b_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}}\right)&\longmapsto& \left(a_{i,j}+b_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\cdot : \R\times\\M_{n,m}(\R) &\longrightarrow & \M_{n,m}(\R)\\
\left(\lambda,\left(a_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}}\right)&\longmapsto& \left(\lambda a_{i,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;m]\!]}}
\end{eqnarray*}
Alors \( (\M_{n,m}(\R), +, \cdot)\) est un \( \R\) -ev.
Démonstration
Triviale.
Définition
Soit \( n\in \N_{{>}0}\) .
- \( (i)\) .
- Les éléments de l'ev \( \R^n\) s'identifie à \( \M_{n,1}(\R)\) et sont appelés des vecteurs colonnes ou tout simplement vecteur.
- \( (ii)\) .
- Les éléments de \( \M_{1,n}(\R)\) sont appelés des vecteurs lignes.
- \( (iii)\) .
- Soit \( \overrightarrow{x}\in \R^n\) . On appelle \( i\) -ème coordonné de \( \overrightarrow{x}\) le nombre réel correspondant au coefficient, noté \( \overrightarrow{x}_i=\overrightarrow{x}_{i,1}\) , de \( \overrightarrow{x}\in \M_{n,1}(\R)\) de la \( i\) -ème ligne et première colonne.
Définition
Soient \( m\) , \( n\) et \( p\) des entiers strictement positifs et \( A\in \M_{n,m}(\R)\) et \( B\in \M_{m,p}(\R)\) . On définit le produit de \( A B\) par
\[
A B =\left(\sum_{k=1}^ma_{i,k}b_{k,j}\right)_{^{i\in[\![1;n]\!]}_{j\in[\![1;p]\!]}}
\]
Par exemple si
\( A=\begin{pmatrix}
0&1&-1\\
1&1&-1
\end{pmatrix}
\) et
\( B=\begin{pmatrix}
0&1&-1&0\\
1&1&-1&-3\\
1&0&2&0
\end{pmatrix}
\) alors
\[
A\cdot B =
\begin{pmatrix}
0&1&-1&-3\\
0&1&-4&-3
\end{pmatrix}
\]
Remarque
Dans \( \M_n(\R)\) le produit des matrices n'est pas usuelle. Pour commencer il n'est pas commutatif, c'est à dire qu'il est plutôt rare d'avoir \( AB=BA\) . De plus il n'est pas intègre, c'est à dire que \( AB=0\) sans que \( A=0\) ni \( B=0\) . On pourra se convaincre de ces deux fait en choisissant \( A=\begin{pmatrix}
1&1\\
1&1
\end{pmatrix}\) et
\(
B=\begin{pmatrix}
1&1\\
-1&-1
\end{pmatrix}
\)
Définition
On appel matrice identité de \( \M_n(\R)\) , notée \( Id_n\) , la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux sur la diagonale qui valent 1.
\[
Id_n =\begin{pmatrix}
1&0&&\cdots&&0\\
0&1&0&\cdots&&0\\
&&&&&\\
\vdots&&&\ddots&0&\vdots\\
&&&0&1&0\\
0&\cdots&&&0&1
\end{pmatrix}
\]
Proposition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) , \( A\) , \( B\) et \( C\) des matrices de \( \M_n(\R)\) et \( \lambda\in \R\) .
- \( (i)\) .
- \( AId_n=Id_nA=A\)
- \( (ii)\) .
- \( A(BC)=(AB)C\)
- \( (iii)\) .
- \( A(B+C)=AB+AC\)
- \( (iv)\) .
- \( (A+B)C=AC+BC\)
- \( (v)\) .
- \( \lambda A B=A\lambda B\)
Démonstration
Triviale.
Définition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\in \M_n(\R)\) . On appelle transposée de \( A\) , la matrice noté \( {}^tA\) et définie par
\[\forall i, j \in [\![1;n]\!], \quad {\vphantom{A}}^{t}{A}_{i,j}=A_{j,i}\]
En définitive la transposé d'une matrice est la même matrice où les lignes et les colonnes sont inversées.
Par exemple \(
{\vphantom{
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
9&0&4\\
-1&1&1
\end{pmatrix}
}}^{t}{
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
9&0&4\\
-1&1&1
\end{pmatrix}
}
=
\begin{pmatrix}
1&9&-1\\
2&0&1\\
3&4&1
\end{pmatrix}
\)
Proposition
\[{\vphantom{(AB)}}^{t}{(AB)}={\vphantom{B}}^{t}{B}{\vphantom{A}}^{t}{A}\]
Démonstration
\begin{eqnarray*}
{\vphantom{(AB)}}^{t}{(AB)}_{i, j}
&=&(AB)_{j, i}\\
&=&\sum_{k=1}^n A_{j, k}B_{k, i}\\
&=&\sum_{k=1}^n {\vphantom{A}}^{t}{A}_{k, j}{\vphantom{B}}^{t}{B}_{i, k}\\
&=&\sum_{k=1}^n {\vphantom{B}}^{t}{B}_{i, k}{\vphantom{A}}^{t}{A}_{k, j}\\
&=&({\vphantom{B}}^{t}{B}{\vphantom{A}}^{t}{A})_{i, j}
\end{eqnarray*}
Définition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\) une matrice de \( \M_n(\R)\) . On dira que \( A\) est inversible si il existe \( B\in \M_n(\R)\) tel que
\[AB=BA=Id_n\]
Cette définition ne garantie pas qu'un inverse existe. Il s'agit simplement d'une définition. Nous verrons, par l'intermédiaire du
déterminant, un critère nécessaire et suffisant pour déterminer un inverse matricielle.
Proposition
Soient \( n\in \N_{{>}0}\) et \( A\) une matrice de \( \M_n(\R)\) . Si \( A\) est inversible alors l'inverse est unique.
Démonstration
Soit \( B_1\) et \( B_2\) deux inverses alors
\[B_1=B_1Id_n=B_1(AB_2)=(B_1A)B_2=Id_nB_2=B_2\]
Proposition
\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\]
Démonstration
On a
\[
(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}Id_nB=B^{-1}B=Id_n
\]
Ainsi par unicité de l'inverse
\( (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
Proposition
Si \( A\) est inversible alors \( {\vphantom{A}}^{t}{A}\) aussi. De plus
\[({\vphantom{A}}^{t}{A})^{-1}={\vphantom{A^{-1}}}^{t}{A^{-1}}\]
Démonstration
\[
Id_n
={\vphantom{Id_n}}^{t}{Id_n}
={\vphantom{AA^{-1}}}^{t}{AA^{-1}}
={\vphantom{A^{-1}}}^{t}{A^{-1}}{\vphantom{A}}^{t}{A}
\]
Par unicité de l'inverse on a donc \( {\vphantom{(A^{-1})}}^{t}{(A^{-1})}={\vphantom{A}}^{t}{A}^{-1}\)
