Définition
Soit \( f:E\rightarrow E\) une application linéaire sur un espace vectoriel \( E\) de dimension finie.
- \( (i)\) .
- Le polynôme caractéristique de \( f\) est définie comme
\[\chi_f(X)=\det(f-XId)\]
- \( (ii)\) .
- On dira que \( \lambda\in \R\) est une valeur propre de \( f\) si \( \chi_f(\lambda)=0\) .
- \( (iii)\) .
- On appel spectre de \( f\) l'ensemble des valeurs propre de \( f\) . On note \( \texttt{sp}(f)\) cet ensemble.
Considérons par exemple l'endomorphisme \( f\) de \( \R^3\) dont la matrice dans la base canonique est
\( A=\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&3&0\\
2&-4&2
\end{pmatrix}\) .
Alors en développant par rapport à la seconde ligne :
\[\chi_f(X)=\left|
\begin{array}{ccc}
1-X&2&0\\
0&3-X&0\\
2&-4&2-X
\end{array}
\right|=(3-X)\left|
\begin{array}{ccc}
1-X&0\\
2&2-X
\end{array}
\right|=(3-X)(1-X)(2-X)
\]
Ainsi \( \texttt{sp}(f)=\{1,2,3\}\)
Définition
Soit \( f\) une application linéaire et \( \lambda\) une valeur propre. On appel espace propre l'espace vectoriel
\[E_\lambda=\Ker(f-\lambda Id)\]
Les éléments d'un espace propre sont appelés des vecteurs propres.
Reprenons l'exemple précédent et déterminons l'espace propre associé à la valeur propre \( 2\) . Il s'agit de déterminer \( E_2=\Ker(f-2Id)\) .
Soit \( \overrightarrow{x}\in E_2\) , alors \( (f-2Id)(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}\) . Or la matrice associée à \( f-2Id\) dans la base canonique est \(
\begin{pmatrix}
1-2&2&0\\
0&3-2&0\\
2&-4&2-2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-1&2&0\\
0&1&0\\
2&-4&0
\end{pmatrix}
\) .
Ainsi \( (f-2Id)(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}\) traduit le système \[\begin{pmatrix}
-1&2&0\\
0&1&0\\
2&-4&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}\qquad \Longleftrightarrow\qquad
\left\{
\begin{array}{ccccc}
-x&+2y&&=&0\\
&y&&=&0\\
2x&-4y&&=&0
\end{array}
\right.
\]
Qui se résout par le pivot de Gauss et aboutis à la solution \(
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
z
\end{pmatrix}=z
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}
\) . Ainsi \( E_2={\texttt{Vect}}\left(\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}
\right)
\)
Définition
Soient \( f:E\rightarrow E\) une application linéaire sur un espace vectoriel \( E\) de dimension finie.
- \( (i)\) .
- Soit \( \lambda\in \texttt{sp}(f)\) . Il existe, \( n_\lambda\in \N_{{>}0}\) et un polynôme \( Q\in \R[X]\) tel que \( \chi_f(X)=(X-\lambda)^{n_\lambda}Q(X)\) et \( Q(\lambda)\neq0\) . L'entier \( n_\lambda\) s'appelle la multiplicité algébrique de \( \lambda\) .
- \( (ii)\) .
- On appel multiplicité géométrique de \( \lambda\in \texttt{sp}(f)\) l'entier \( \dim(\Ker(f-\lambda Id))\) .
Lemme
Soit \( \lambda\) une valeur propre d'une application linéaire, \( m_\lambda\) sa multiplicité géométrique et \( n_\lambda\) sa multiplicité algébrique
\[1\leqslant m_\lambda\leqslant n_\lambda\]
Démonstration
Admise.
Définition
On dira qu'une application linéaire \( f:E\rightarrow E\) est diagonalisable s'il existe une base de \( E\) formée de vecteur propre de \( f\) .
Remarque
Soient \( f:E\rightarrow E\) une application linéaire diagonalisable et \( \base\) une base de vecteur propre. Alors
\[\mathcal{Mat}(f,\base)=\begin{pmatrix}
\lambda_1&0&&\cdots&&0\\
0&\lambda_2&0&\cdots&&0\\
&&&&&\\
\vdots&&&\ddots&0&\vdots\\
&&&0&\lambda_{n-1}&0\\
0&\cdots&&&0&\lambda_n
\end{pmatrix}
\]
où \( \lambda_i\in \texttt{sp}(f)\) .
Théorème
Soit \( f:E\rightarrow E\) une application linéaire sur un espace vectoriel \( E\) de dimension finie. Les énoncés suivants sont équivalents.
- \( (i)\) .
- L'application \( f\) est diagonalisable sur \( \R\) .
- \( (ii)\) .
- \( \dpl{E=\bigoplus_{\lambda\in\texttt{sp}(f)}\Ker(f-\lambda Id)}\)
- \( (iii)\) .
- La somme des multiplicité géométrique est égale à la dimension de \( E\) .
- \( (iv)\) .
- Le polynôme caractéristique se factorise dans \( \R[X]\) en produit de polynôme de degrés \( 1\) et la multiplicité algébrique de chaque valeur propre est égale à la multiplicité géométrique.
Démonstration
Facile ;-)
Reprenons l'exemple de l'endomorphisme \( f\) de \( \R^3\) dont la matrice dans la base canonique est
\( A=\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&3&0\\
2&-4&2
\end{pmatrix}\) .
Le spectre de cette application est \( \{1,2,3\}\) . Notons \( \overrightarrow{f}_{1}=\begin{pmatrix}
1\\0\\-2
\end{pmatrix}\) ,
\( \overrightarrow{f}_{2}=\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}\) et
\( \overrightarrow{f}_{3}=\begin{pmatrix}
1\\1\\-2
\end{pmatrix}\) .
\( \Ker(f-1Id)={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{f}_{1} \right)\)
\( \Ker(f-2Id)={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{f}_{2} \right)\)
\( \Ker(f-3Id)={\texttt{Vect}}\left(\overrightarrow{f}_{3} \right)\)
Notons \( \base\) la base canonique et \( \base'=\{\overrightarrow{f}_{1},\overrightarrow{f}_{2},\overrightarrow{f}_{3}\}\) . Alors
\[\mathcal{Pass}(\base,\base')=
\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&0&1\\
-2&1&-2
\end{pmatrix}\qquad
\mathcal{Pass}(\base',\base)=\mathcal{Pass}(\base,\base')^{-1} =
\begin{pmatrix}
1&-1&0 \\
2&0&1 \\
0&1&0 \\
\end{pmatrix}
\]
On vérifie que
\[\mathcal{Pass}(\base',\base)\mathcal{Mat}(f,\base)\mathcal{Pass}(\base,\base')=
\begin{pmatrix}
1&-1&0 \\
2&0&1 \\
0&1&0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&2&0\\
0&3&0\\
2&-4&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&0&1\\
-2&1&-2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&2&0\\
0&0&3
\end{pmatrix}
\]
