Définition
Soient \( E\) et \( F\) deux \( \R\) -ev. On dira qu'une application \( f:E\rightarrow F\) est une
application linéaire si :
- \( (i)\) .
- \( \forall x, y\in E,\ f(x+y)=f(x)+f(y)\) .
- \( (ii)\) .
- \( \forall \lambda\in \R\) , \( \forall x\in E\) , \( f(\lambda x)=\lambda f(x)\)
Par exemple, l'application
\begin{eqnarray*}
f:\R^2&\longrightarrow&\R\\
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)&\longmapsto& 2x-y
\end{eqnarray*}
est bien une application linéaire.
Théorème
Soient \( E\) et \( F\) deux \( \R\) -ev. Considérons l'ensemble \( \LL(E,F)\) l'ensemble des applications linéaires de \( E\) dans \( F\) . Considérons également les opérations suivantes :
\begin{eqnarray*}
+ : \LL(E,F)\times\LL(E,F) &\longrightarrow & \LL(E,F)\\
(f,g)&\longmapsto&\left(
\begin{array}{rcl}
E&\rightarrow&F\\
\overrightarrow{x}&\mapsto &f(\overrightarrow{x})+g(\overrightarrow{x})
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\cdot : \R\times\LL(E,F) &\longrightarrow & \LL(E,F)\\
(\lambda,f)&\longmapsto&\left(
\begin{array}{rcl}
E&\rightarrow&F\\
\overrightarrow{x}&\mapsto &\lambda f(\overrightarrow{x})
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
Alors \( (\LL(E,F), +, \cdot)\) est un \( \R\) -ev.
Démonstration
Triviale.
Définition
Soit \( f:E\rightarrow F\) une application linéaire entre deux \( \R\) -ev de dimension respective \( n_E\in \N_{{>}0}\) et \( n_F\in \N_{{>}0}\) . Considérons \( \base_E=\{\overrightarrow{e}_{1}, \dots, \overrightarrow{e}_{n_E}\}\) et \( \base_F=\{\overrightarrow{f}_{1}, \dots, \overrightarrow{f}_{n_F}\}\) des bases de \( E\) et \( F\) respectivement.
La matrice de \( f\) exprimée de \( \base_E\) vers \( \base_F\) , noté \( \mathcal{Mat}(f,\base_E, \base_F)\) est définie pour tout \( i\in [\![1 ; n_E]\!]\) et tout \( j\in [\![1 ; n_F]\!]\)
\[\mathcal{Mat}(f,\base_E, \base_F)_{i,j}=(f(\overrightarrow{e}_{j}))_i\]
où \( f(\overrightarrow{e}_{j})\) est l'image du vecteur \( \overrightarrow{e}_{j}\) exprimé dans la base \( \base_F\) .
Dans le cas ou \( E=F\) et \( \base_E=\base_F\) on notera simplement \( \mathcal{Mat}(f,\base_E)\) .
Considérons par exemple l'application de \( \R^2\) dans \( \R^2\) , définie pour tout vecteur de \( \R^2\) par \( f(^x_y)=(^{x+y}_y)\) . Considérons également la base canonique \( \base\) de \( \R^2\) . Dans ce cas \( \mathcal{Mat}(f,\base,\base)=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&1
\end{pmatrix}
\)
Définition
Soient \( f:E\rightarrow F\) et \( g:F\rightarrow G\) deux applications linéaires entre \( \R\) -ev. On défini la composition des applications, notée
\( g\circ f\) , comme l'application de \( E\) dans \( G\) définie par
\[\forall \overrightarrow{x}\in E,\qquad g\circ f(\overrightarrow{x})=g(f(\overrightarrow{x}))\]
Proposition
Soient \( f:E\rightarrow F\) et \( g:F\rightarrow G\) deux applications linéaires entre \( \R\) -ev alors la composée \( g\circ f\) est une application linéaire.
Démonstration
- \( (i)\) .
- Soient \( \overrightarrow{x}\) et \( \overrightarrow{y}\) des éléments de \( E\) , alors
\[g\circ f(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=g(f(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}))=g(f(\overrightarrow{x})+g(\overrightarrow{x}))=g(f(\overrightarrow{x}))+g(f(\overrightarrow{y}))=g\circ f(\overrightarrow{x})+g\circ f(\overrightarrow{y})\]
- \( (ii)\) .
- Soient \( \overrightarrow{x}\in E\) et \( \lambda\in \R\) , alors
\[g\circ f(\lambda\cdot\overrightarrow{x})=g(f(\lambda\cdot\overrightarrow{x}))=g(\lambda\cdot f(\overrightarrow{x}))=\lambda\cdot g(f(\overrightarrow{x}))=\lambda\cdot g\circ f(\overrightarrow{x})\]
Théorème
Soient \( f:E\rightarrow F\) et \( g:F\rightarrow G\) deux applications linéaires entre \( \R\) -ev. Notons \( \base_E\) , \( \base_F\) et \( \base_G\) des bases respectives de \( E\) , \( F\) et \( G\) .
\[\mathcal{Mat}(g\circ f,\base_E, \base_G)=\mathcal{Mat}(g,\base_F,\base_G)\mathcal{Mat}(f,\base_E,\base_F)\]
Démonstration
Il suffit de revenir à la définition. Rien de bien poétique.
Remarque
En d'autre terme, la composition des applications linéaires correspond au produit des matrices associées.
Définition
Soient \( \base\) et \( \base'\) deux bases d'un \( \R\) -ev \( E\) de dimension finie. La matrice de passage de \( \base\) à \( \base'\) , notée \( \mathcal{Pass}(\base,\base')\) , est la matrice \[\mathcal{Pass}(\base, \base')=\mathcal{Mat}(Id, \base, \base')\]
où \( Id\) est l'application linéaire de \( E\) dans \( E\) définie pour tout \( \overrightarrow{x}\in E\) par \( Id(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}\) .
Par exemple dans \( \R^2\) , \( \base=\{\overrightarrow{e}_{1}=(^1_0),\overrightarrow{e}_{2}=(^0_1)\}\) et \( \base'=\{\overrightarrow{f}_{1}=(^1_1), \overrightarrow{f}_{2}=(^1_{-1})\}\) sont deux bases. Alors
\[\mathcal{Pass}(\base, \base')=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix},
\qquad
\mathcal{Pass}(\base', \base)=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]
Proposition
Soient \( \base\) et \( \base'\) deux bases d'un ev \( E\) de dimension finie \( n\in \N_{{>}0}\) .
Pour \( \overrightarrow{x}\in E\) notons \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n\) ses coordonnées dans la base \( \base\) et \( \beta_1, \ldots\beta_n\) ses coordonnées dans la base \( \base'\) . Alors
\[\mathcal{Pass}(\base, \base')
\begin{pmatrix}
\beta_1\\
\vdots\\
\beta_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_n
\end{pmatrix}
\]
Démonstration
Notons \( \overrightarrow{e}_{i}\) les vecteurs de la base \( \base\) , \( \overrightarrow{f}_{i}\) ceux de \( \base'\) . En particulier
\[\sum_{i=1}^n\alpha_i\overrightarrow{e}_{i}=\sum_{i=1}^n\beta_i\overrightarrow{f}_{i}\]
Puisque \( \mathcal{Pass}(\base, \base')\) est la matrice de l'application identité, on a \( \mathcal{Pass}(\base, \base')\overrightarrow{f}_{i}=\overrightarrow{f}_{i}\) exprimé dans la base \( \base\) . Notons \( \dpl{\overrightarrow{f}_{i}=\sum_{j=1}^np_{i, j}\overrightarrow{e}_{j}}\) alors
\[\sum_{i=1}^n\alpha_i\overrightarrow{e}_{i}
=\sum_{i=1}^n\beta_i\overrightarrow{f}_{i}
=\sum_{i=1}^n\beta_i\left(\sum_{j=1}^np_{i, j}\overrightarrow{e}_{j}\right)
=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^n\beta_ip_{i, j}\right)\overrightarrow{e}_{j}
\]
On a alors
\begin{eqnarray*}
\mathcal{Pass}(\base, \base')
\begin{pmatrix}
\beta_1\\
\vdots\\
\beta_n
\end{pmatrix}
&=&\mathcal{Pass}(\base, \base')\left(\sum_{i=1}^n\beta_i\overrightarrow{f}_{i}\right)
\\
&=&\sum_{i=1}^n\beta_i\mathcal{Pass}(\base, \base')\overrightarrow{f}_{i}
\\
&=&\sum_{i=1}^n\beta_i\left(\sum_{j=1}^np_{i, j}\overrightarrow{e}_{j}\right)
\\
&=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\beta_ip_{i, j}\overrightarrow{e}_{j}
\\
&=&\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n\beta_ip_{i, j}\overrightarrow{e}_{j}
\\
&=&\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^n\beta_ip_{i, j}\right)\overrightarrow{e}_{j}
\\
&=&\sum_{i=1}^n\alpha_i\overrightarrow{e}_{i}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_n
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Reprenons l'exemple précédent avec \( \base=\{\overrightarrow{e}_{1}=(^1_0),\overrightarrow{e}_{2}=(^0_1)\}\) et \( \base'=\{\overrightarrow{f}_{1}=(^1_1), \overrightarrow{f}_{2}=(^1_{-1})\}\) et
\[\mathcal{Pass}(\base, \base')=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1
\end{pmatrix},
\qquad
\mathcal{Pass}(\base', \base)=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]
Considérons le vecteur \( \overrightarrow{u}=\left(^2_{-1}\right)\) dans la base \( \base\) . Alors l'expression de ce vecteur dans la base \( \base'\) est le résultat du produit \( \mathcal{Pass}(\base', \base)\overrightarrow{u}=\left(^{\frac{1}{2}}_{\frac{3}{2}}\right)\) .
Lemme
Soient \( n\in\N_{{>}0}\) , \( E\) un \( \R\) -ev de dimension \( n\) et \( Id:E\rightarrow E\) l'application linéaire définie pour tout \( \overrightarrow{x}\in E\) par \( Id(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}\) . Quelque soit la base \( \base_E\) de \( E\) ,
\[\mathcal{Mat}(Id,\base_E)=Id_n\]
Démonstration
C'est la définition.
Proposition
Soient \( \base\) et \( \base'\) deux bases d'un \( \R\) -ev \( E\) de dimension finie. Alors \( \mathcal{Pass}(\base, \base')\) est inversible, de plus
\[\mathcal{Pass}(\base, \base')^{-1}=\mathcal{Pass}(\base',\base)\]
Démonstration
C'est une conséquence trivial de l'observation suivante
\[\mathcal{Mat}(Id, \base, \base')\mathcal{Mat}(Id, \base', \base)=\mathcal{Mat}(Id, \base)=Id_n\]
\[\mathcal{Mat}(Id, \base', \base)\mathcal{Mat}(Id, \base, \base')=\mathcal{Mat}(Id, \base')=Id_n\]
Corollaire
Soient \( \base\) et \( \base'\) deux bases d'un \( \R\) -ev \( E\) et soit \( f:E\rightarrow E\) une application linéaire.
\[
\mathcal{Mat}(f,\base)=\mathcal{Pass}(\base, \base')\mathcal{Mat}(f,\base')\mathcal{Pass}(\base',\base)
\]
Démonstration
Trivial.
Théorème
Soient \( m\) et \( n\) des entiers strictement positifs.
Pour tout \( k\in \N_{{>}0}\) , notons \( \base_k\) la base canonique de \( \R^k\) .
Considérons les applications suivantes
\begin{eqnarray*}
\varphi : \LL(\R^m,\R^n)&\longrightarrow&\M_{n,m}(\R)\\
f&\longmapsto&\mathcal{Mat}(f,\base_m,\base_n)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\psi : \M_{n,m}(\R)&\longrightarrow&\LL(\R^m,\R^n)\\
A&\longmapsto&
\left(
\begin{array}{rcl}
\R^n&\rightarrow&\R^m\\
\overrightarrow{x}&\mapsto&A\overrightarrow{x}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
Alors \( \varphi\) et \( \psi\) sont des applications linéaire réciproque l'une de l'autre. En particulier, se donner une application linéaire entre \( \R\) -ev de dimension finie équivaut à se donner une matrice.
Démonstration
Admise.
Remarque
Ce théorème implique en particulier que travailler avec des applications linéaires est équivalent au travail avec des matrices. Cependant, travailler avec des matrices nécessites le choix de base.
